Guia prático para resolver problemas de "um hospital tem 7 médicos"
Problemas que começam com "um hospital tem 7 médicos" aparecem o tempo todo em materiais de matemática do ensino médio e em concursos. A maioria das pessoas trav na primeira linha porque não sabe por onde começar. Vou explicar como encarar isso na prática, sem teoria desnecessária.
O problema base: um hospital tem 7 médicos
A frase "um hospital tem 7 médicos" é o ponto de partida para vários tipos dequestão. O que importa não é o número em si, mas como ele se relaciona com o que a pergunta pede. Já vi gente passar 15 minutos só tentando interpretar o enunciado quando a resposta estava na segunda frase. O primeiro passo é sempre identificar o tipo de problema antes de fazer qualquer conta. Os mais comuns são:
Combinação: quantos grupos de médicos podem ser formados a partir desses 7? A fórmula é C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!). Se a pergunta pede quantas equipes de 3 médicos podem ser montadas, você calcula C(7,3) = 35. Simples, mas erram bastante ao confundir com permutação. Permutação: quando a ordem dos médicos importa. Se precisa formar uma escala de plantão onde cada posição é diferente, usa P = n!. Para os 7 médicos em 7 turnos distintos, são 7! = 5.040 possibilidades.
Probabilidade: qual a chance de um médico específico estar entre os escolhidos? Aqui a armadilha é tentar contar tudo do zero. O jeito certo é usar o complement. Se vai sortear 3 médicos dos 7, a probabilidade de um médico X NÃO ser sorteado é C(6,3)/C(7,3) = 20/35 = 4/7. Logo, a probabilidade de ele SER sorteado é 1 - 4/7 = 3/7. Distribuição de médicos por especialidade: problemas assim costumam dizer que entre os 7 médicos, alguns são clínicos e outros cirurgiões. Aí precisa usar o princípio multiplicativo. Se há 4 clínicos e 3 cirurgiões e precisa formar uma equipe com 2 de cada, calcula-se C(4,2) * C(3,2) = 6 * 3 = 18 equipes possíveis.
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Um caso que todo mundo erra: médicos repetidos e escolha sem reposição
Em uma questão real que corrigi recentemente, o enunciado dizia que um hospital tem 7 médicos e deveria-se escolher 4 para uma comissão, mas dois deles não podiam trabalhar juntos. A tentação era calcular C(7,4) = 35 e pronto. Errado. O workaround foi simples mas exige atenção: calcule o total de combinações possíveis (35), subtraia as combinações que incluem ambos os médicos que não podem trabalhar juntos. Para contar essas combinações inválidas, fixamos os dois incompatíveis e escolhemos os outros 2 entre os 5 restantes, ou seja, C(5,2) = 10. A resposta final é 35 - 10 = 25 comissões válidas.
Se tivesse ido pela resposta óbvia de 35, estaria errad por 10 combinações. Esse tipo de restrição parece bobo no papel mas costuma ser o diferencial nas questões mais difíceis.
Dica técnica que faz diferença
Quando o problema pede "pelo menos um médico da especialidade X", nunca some casos separados. Use sempre o complement: calcule a probabilidade ou quantidade de NENHUM médico daquela especialidade ser incluído e subtraia do total. Isso reduz o trabalho pela metade em quase todos os casos e elimina erros de contagem dupla. Também vale a pena notar que muitos materiais didáticos tratam médicos como elementos distinguíveis mesmo quando não dizem explicitamente. Na prática, cada médico é único. Se a questão disser "7 médicos idênticos", aí sim usa permutação com repetição. Mas isso é raríssimo no contexto de hospitais. Assumir indistinguibilidade quando os elementos são distinguíveis é um erro comum que gera resultados absurdos.
Para problemas de escala ou revezamento, lembre-se de que distribuir 7 médicos em turnos desiguais muda tudo. Se há 3 turnos com cargas diferentes (manhã, tarde, noite), não adianta usar permutação simples. Precisa decidir quantos médicos vão em cada turno primeiro, depois distribuir dentro de cada grupo. Um hospital com 7 médicos alocados em turnos de 3, 2 e 2 teria C(7,3) * C(4,2) * C(2,2) = 35 * 6 * 1 = 210 escalas possíveis, não 7! = 5.040.
