O que realmente acontece quando você compara duas retas no plano
Quando você pega duas equações de reta e quer saber como elas se comportam uma em relação à outra, a coisa mais simples é verificar os coeficientes angulares. Se os m forem diferentes, as retas são concorrentes. Se forem iguais, você olha os coeficientes lineares. Diferentes, são paralelas distintas. Iguais também, são coincidentes. Isso é o resumo, mas na prática tem uns detalhes que vão te dar trabalho se você não prestar atenção.
Análise de posição relativa entre retas
Vou explicar do jeito que eu faço, porque costumo errar nos sinais se não estruturar o raciocínio antes de começar. A primeira coisa é colocar as duas retas na forma reduzida, y = mx + n. Se já vierem dadas na forma geral Ax + By + C = 0, você divide tudo por B e separa o m do n. Aí você com para ver a situação. Vou usar o exemplo de um exercício que apareceu recentemente: reta r sendo 2x - 4y + 8 = 0 e reta s sendo 6x - 12y + 5 = 0. Transformando, r vira y = 0,5x + 2 e s vira y = 0,5x + 5/12. M deu igual em ambas, então são paralelas. Os n são diferentes, então são paralelas distintas. Pronto. Esse exemplo é clássico e cai todo ano, então vale a pena decorar o procedimento. O que muita gente erra é confundir paralelismo com perpendicularismo. Para ser perpendicular, o produto dos coeficientes angulares tem que dar -1. Eu já perdi pontos em prova por esquecer esse sinal negativo e achar que m1 vezes m2 igual a 1 era o critério. Você pode testar rápido: se uma reta tem m = 2, a perpendicular tem m = -1/2. É só inverter e mudar o sinal. Não tem muito segredo, mas é fácil errar na pressa.
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Tem também o caso que ninguém gosta de ver, que é quando as retas estão dadas em parâmetros geométricos ou como segmentos. Aí você precisa calcular o coeficiente angular a partir de dois pontos. Se os pontos de r são A(1, 3) e B(4, 7), o m dá (7 - 3) / (4 - 1), que é 4/3. Aí você repete o processo para a segunda reta e compara. Se der igual, paralelas. Se o produto for -1, perpendiculares. O problema é quando os pontos têm coordenadas decimais ou frações, e aí o cálculo manual demora. Eu costumo usar uma planilha simples nesse caso, porque evita erro de digitação e ainda deixa registro do procedimento. Outro ponto importante é que paralelismo no espaço tridimensional funciona de maneira similar, mas exige cuidado extra com vetores diretores. Se você tiver reta r com vetor diretor v1 = (2, -1, 3) e reta s com vetor diretor v2 = (-4, 2, -6), note que v2 é múltiplo de v1 pelo fator -2. Isso significa que as retas são paralelas no espaço também, mas podem ser coincidentes ou distintas dependendo dos pontos por onde passam. Eu tive um caso em que achei que eram coincidentes porque o vetor diretor era proporcional, mas ao substituir um ponto de uma das retas na equação da outra, o resultado não bateu. Elas eram paralelas distintas no espaço. Anotar os passos sempre ajuda a não cair nessa armadilha.
Um erro frequente também é assumir que retas concorrentes sempre se cruzam em um ponto com coordenadas inteiras. Na maioria dos exercícios didáticos isso acontece porque o autor montou os números de propósito, mas na vida real as interseções podem ter casas decimais longas. Você resolve o sistema e pronto, não adianta tentar arredondar antes de terminar. Eu já vi gente arredondar o ponto de interseção para fazer um gráfico e aí a coisa não fechava na verificação. Se você está estudando para concurso ou prova objetiva, o mais rápido é decorar os três casos de posição relativa entre retas e treinar a transformação para a forma reduzida. Leva cerca de 30 segundos por questão bem elaborada. Quando o tema inclui perpendicularismo, ganha mais um passo e o tempo sobe para uns 45 segundos. O essencial é não pular a verificação do sinal do m e do n.
Resumindo o que funciona na prática: transforme para y = mx + n, compare m e n, aplique o critério do produto -1 só quando pedir perpendicularidade, e quando os dados vierem em forma geral ou com pontos, faça a conversão antes de concluir qualquer coisa. É isso.
