As regras básicas que todo mundo esquece
A divisão e multiplicação de fração são operações que confundem mais gente do que deveriam, e a razão é simples: os manuais ensinam os algoritmos sem explicar o que está acontecendo por trás deles. Quando você multiplica frações, está basicamente pegando uma parte de outra parte. Quando divide, está perguntando quantas vezes uma quantidade cabe dentro da outra. O resto é mecânica. Para multiplicar, você multiplica o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Pronto. Não precisa de MMC, não precisa de denominador comum. É disso que as pessoas mais reclamam nos fóruns — acham que toda operação com fração exige passar para o mesmo denominador antes. Não exige. Só a soma e a subtração pedem isso.
Exemplo rápido: 3/4 vezes 2/5. Numerador: 3 por 2 dá 6. Denominador: 4 por 5 dá 20. Resultado 6/20, que simplifica para 3/10. Não tem nada dramático nisso.
divisão e multiplicação de fração na prática
A divisão funciona invertendo a segunda fração e multiplicando. Isso se chama "multiplicar pelo inverso" ou "pelo recíproco". A fração 2/3 virada vira 3/2. Aí é só multiplicar normalmente. Então 3/4 dividido por 2/5 vira 3/4 vezes 5/2, que dá 15/8. O detalhe que todo mundo pula é a simplificação antes de multiplicar. Se você tem 6/7 vezes 14/15, nota que o 6 do numerador e o 15 do denominador têm fator comum 3, e o 14 do numerador com o 7 do denominador tem fator comum 7. Simplificando antes: 6 dividido por 3 fica 2, 15 dividido por 3 fica 5. 14 dividido por 7 fica 2, 7 dividido por 7 fica 1. Aí vira 2/1 vezes 2/5, que é 4/5. Se você multiplicar direto sem simplificar, chega em 84/105 e ainda tem que simplificar depois. O resultado é o mesmo, mas o caminho é muito mais cansativo e aumenta a chance de erro aritmético.
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Eu tive um problema específico com uma conta de 45/66 dividida por 77/99. Os números pareciam aleatórios de propósito. Passei direto pra multiplicação pelo inverso e fiquei com 45/66 vezes 99/77. Aí observei que 45 e 77 não têm fator comum, mas 99 e 66 têm 33 como MDC. 99 dividido por 33 é 3, 66 dividido por 33 é 2. Sobrou 45/2 vezes 3/77. O 45 e o 77 também não compartilham fatores. O resultado foi 135/154. Nada bonito, mas correto. Se tivesse multiplicado tudo direto primeiro, ficaria com um numerador de cinco algarismos e um denominador parecido, e a simplificação final seria bem mais trabalhosa. Outro ponto que eu vejo sempre errado: gente simplificando frações no meio do caminho sem verificar se o fator comum existe de verdade. Você tem que confirmar o MDC, não chutar. Usar a decomposição em fatores primos quando os números forem grandes evita essa frustração.
O que os livros não mencionam
A primeira coisa contraintuitiva é que multiplicar frações pode aumentar o resultado. Parece errado pra quem está acostumado com inteiros, onde multiplicar por algo maior que 1 sempre aumenta. Com frações, se você multiplicar 3/2 por 4/3, o resultado é 12/6 que é 2. O primeiro fator já era maior que 1, e o segundo também. O produto cresceu. Mas se um dos fatores for menor que 1, o produto diminui. A intuição numérica com frações precisa ser construída do zero. A segunda coisa é que divisão por fração nunca deve ser feita passando tudo para o mesmo denominador. Alguém já ensinou isso em algum colégio e virou mito. Não funciona. A divisão por fração só tem sentido quando você inverte e multiplica. Passar para denominador comum resolve soma e subtração, não divisão.
Também vale avisar sobre a limitação mais chata: divisão por zero. Se o numerador da fração que você está dividindo for zero, ou seja, se você tenta dividir por 0/1 ou qualquer fração equivalente a zero, a operação é indefinida. Não existe resposta. O algoritmo de inverter e multiplicar dá um denominador zero, e aí o sistema quebra. Isso aparece em exercícios porque muita gente simplifica 0/5 para 0/1 e esquece que não pode inverter zero. Quando trabalhamos com frações algébricas, como (x+2)/(x-3) dividido por (x-1)/(x+4), a regra é a mesma, mas o domínio muda. Você tem que excluir os valores que zereiam qualquer denominador original e também os que zereariam o denominador após a inversão. No exemplo, x não pode ser 3, -4, nem 1. Se pular essa verificação, a resposta final pode parecer válida em pontos onde a expressão original nem existe.
Uma última observação prática: ao calcular na mão, anotar cada passo de simplificação em vez de fazer tudo de cabeça evita perda de informação. Eu já vi gente tentar simplificar três pares de números ao mesmo tempo e acabar canceldom fator comum onde ele não existe. Mais lento no início, mais rápido no final porque não precisa refazer.
