Resolvendo equações de módulo (valor absoluto)
Quando alguém pede para determine os números que possuem módulo igual a 15, o problema é basicamente encontrar todos os x tais que |x| = 15. A solução direta é x = 15 e x = -15. O valor absoluto mede a distância até zero na reta numérica, então qualquer número a 15 unidades de distância de zero serve — e só existem dois desses pontos. Parece simples demais para merecer um guia, mas vou explicar de qualquer forma porque vejo gente cometer erros básicos com frequência suficiente.
determine os números que possuem módulo igual a 15
A notação |x| significa o valor absoluto de x. Por definição:
- Se x 0, então |x| = x
- Se x
- 0, então |x| = -x
Isso quer dizer que o resultado é sempre não negativo. Quando você coloca um número negativo dentro do módulo, ele simplesmente inverte o sinal. Fim da história. Para resolver |x| = 15, você separa em dois casos:
Caso 1: x = 15. Isso é válido porque 15 0, então |15| = 15. Conferido. Caso 2: -x = 15, ou seja, x = -15. Isso é válido porque -15
0, então |-15| = -(-15) = 15. Conferido também.
A resposta final é o conjunto {-15, 15}. Em notação de conjunto solução: S = {-15, 15}. Agora, aqui vai a parte que as pessoas geralmente pegam mal. Quando o módulo envolve uma expressão mais complexa, tipo |2x - 3| = 15, aí é preciso ter cuidado com a distributiva do operador módulo sobre os termos.
Por exemplo, se você tem |2x - 3| = 15, isso se resolve como duas equações lineares: 2x - 3 = 15 2x = 18 x = 9
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2x - 3 = -15 2x = -12 x = -6 Verificação rápida: |2(9) - 3| = |18 - 3| = |15| = 15. E |2(-6) - 3| = |-12 - 3| = |-15| = 15. Ambas conferem.
Um erro comum é esquecer o segundo caso. Muitas pessoas calculam apenas 2x - 3 = 15 e param aí, achando que encontrou a solução completa. Isso acontece tanto em sala de aula quanto em provas práticas. O módulo gera sempre duas raízes (desde que o lado direito seja positivo), então pule direto para ambos os casos. Também vale mencionar que, quando o lado direito for zero, a equação |A(x)| = 0 tem exatamente uma solução, que é A(x) = 0. Quando o lado direito for negativo, como |x| = -5, a equação é impossível — não existe nenhum número real cujo valor absoluto seja negativo. Isso é trivial, mas vejo gente marcando alternativas erradas em múltipla escolha por negligenciar essa restrição.
No meu caso, uma vez precisei tratar uma equação com módulo interno a módulo: ||x| - 5| = 3. A solução exige duas camadas de abstração. Primeiro nível: |x| - 5 = 3 ou |x| - 5 = -3. Daí temos |x| = 8 ou |x| = 2. Segundo nível: x = ±8 ou x = ±2. O conjunto solução é {-8, -2, 2, 8}. Isso funciona porque cada etapa reduz uma camada de módulo até sobrar uma equação linear pura.
Outro ponto que as pessoas ignoram é a propriedade triangular: |a + b| |a| + |b|. Não é relevante para resolver equações simples, mas aparece frequentemente em questões de otimização e geometria analítica. Se você está resolvendo problemas de distância, sabe que a soma dos módulos nunca é menor que o módulo da soma. Em resumo, determinar os números cujo módulo é igual a 15 é um exercício de entender que existem exatamente dois pontos na reta numérica equidistantes de zero — um de cada lado. O método geral para qualquer equação do tipo |f(x)| = k (com k > 0) é sempre gerar duas equações: f(x) = k e f(x) = -k. Se k = 0, resolva apenas f(x) = 0. Se k
0, a equação não tem solução real.
