Teorema de Tales e os critérios de semelhança na prática
A maior parte dos problemas de semelhança de triângulos que vejo rodando em exercícios e provas gira em torno de três critérios: LLL, LAL e AA. O pessoal costumava confundir isso no ensino médio e depois pagava preço na faculdade, principalmente em geometria analítica e física. A verdade é que não existe fórmula mágica que resolva tudo sozinho. O que funciona é entender o que cada critério exige e saber aplicar na sequência certa. Para o caso LLL, você precisa das três razões entre lados correspondentes. Se todas forem iguais, os triângulos são semelhantes. No LAL, bastam dois lados e o ângulo compreendido entre eles. No AA, dois ângulos iguais já resolvem, porque o terceiro ângulo sempre será igual também. Não precisa provar os três.
semelhança de triangulos formulas
As fórmulas em si são simples. Se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, então a razão entre os perímetros também é k e a razão entre as áreas é k². Isso parece óbvio mas muita gente esquece na hora da prova ou perde dois minutos fazendo conta a mais. Aqui vai um exemplo rápido. Imagina que você tem um triângulo ABC com lados 6, 8 e 10, e outro triângulo DEF com lados 9, 12 e 15. As razões são 9/6 = 1,5; 12/8 = 1,5; 15/10 = 1,5. Todos iguais, então é LLL e os triângulos são semelhantes com razão k = 1,5. A área do primeiro é 24 unidades quadradas (é triângulo retângulo). A área do segundo é 24 × 1,5² = 54. Pronto.
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O problema que eu realmente vejo todo dia é quando o estudante tenta usar o teorema de Tales sem verificar se as retas são realmente paralelas. Eu estava corrigindo uma lista de Geometria Plana na universidade e um aluno aplicou Tales para encontrar um lado desconhecido num trapézio com uma diagonal cortando os lados transversais. Ele simplesmente assumiu que os segmentos eram proporcionais porque os triângulos pareciam semelhantes. Quando eu pedi para ele justificar com ângulos alternos internos, ele travou. A reta não era paralela ao terceiro lado do triângulo maior. A resposta dele estava errada por causa disso. A correção foi simples: antes de qualquer proporcionalidade, identifique os pares de ângulos iguais. Se tiver paralelas, os ângulos alternos internos ou correspondentes são iguais. Se não tiver, não adianta forçar a semelhança. Isso economiza tempo na hora da prova porque evita que você passe meia página num caminho que não leva a lugar nenhum.
Outro ponto que pouca gente leva a sério é a diferença entre congruência e semelhança. Congruência exige que os lados sejam iguais, semelhança exige que sejam proporcionais. Às vezes aparece um exercício onde os triângulos têm os ângulos iguais mas os lados são exatamente iguais também. Nesse caso eles são semelhantes com razão k = 1. Ainda conta como semelhança, só que é um caso particular. Se você está se preparando para vestibular ou concurso, o mais comum é cair aplicação do teorema de Tales junto com Pitágoras. O jeito mais rápido é montar a proporção diretamente. Por exemplo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados, os segmentos formados são proporcionais. Você coloca as razões lado a lado e resolve a equação. Não precisa construir nada extra.
Existem situações onde a semelhança não resolve tudo. Triângulos com apenas dois lados iguais e um ângulo não compreendido não são necessariamente semelhantes. O famoso caso SSA não é critério de semelhança. Se o ângulo não estiver entre os dois lados conhecidos, você pode ter ambiguidade. Nesses casos, a lei dos senos é mais adequada. Recomendo não forçar a semelhança quando os dados não batem com LLL, LAL ou AA. Para quem quer praticar, os exercícios mais confiáveis são os livros do IME e do ITA. Eles cobram semelhança de formas que exigem traçar auxiliares, como mediatrizes e bissetrizes, e identificar triângulos semelhantes dentro de figuras maiores. A dificuldade não está na fórmula em si, mas em enxergar onde os triângulos semelhantes estão escondidos.
