O que são permutações e por que elas incomodam
Permutação é só arrumar os elementos de um conjunto em uma sequência ordenada. O negócio é simples na teoria, mas na prática a coisa desanda quando aparecem repetições. Eu já passei sufoco com isso num projeto de análise de dados onde tinha que calcular arranjos de senhas e códigos de acesso com caracteres repetidos, e o script que eu tinha feito simplesmente falhava porque não tratava os casos de duplicação corretamente. A solução foi implementar uma função que normalizava os elementos antes de contar. Basicamente, você agrupa os itens iguais e aplica o conceito de permutação com repetição nos grupos. Funciona bem e economiza tempo, mas exige atenção redobrada na hora de contar.
Quando usar permutação simples e com repetição
A permutação simples se aplica quando você tem n elementos todos diferentes e quer arranjar todos eles em sequência. A fórmula é simplesmente n! (n fatório). Por exemplo, com as letras A, B, C temos 3! = 6 arranjos possíveis: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. A permutação com repetição entra quando alguns elementos se repetem. Digamos que você tenha a palavra CARRO. As letras são C, A, R, R, O — o R aparece duas vezes. O cálculo muda e você divide o fatorial pelo fatorial das repetições:
n! / (n! × n! × ... × n!) No caso de CARRO: 5! / 2! = 120 / 2 = 60 permutações distintas. Se tivesse três R's seria 5! / 3! = 20.
A diferença crucial entre permutação simples e com repetição está exatamente nesse divisor. Quando tudo é único, o denominador é 1 (ou seja, você ignora a divisão). Quando há repetições, o denominador cresce e o resultado diminui drasticamente. Um detalhe que muita gente erra: a permutação com repetição só se aplica quando você usa todos os elementos do multiconjunto. Se estiver escolhendo apenas um subconjunto, aí você cai em arranjos, não em permutações. Confundir esses dois conceitos gera erro em pelo menos 40% dos exercícios de concurso que eu vejo.
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Como fazer na prática
O primeiro passo é contar quantos elementos totais você tem (n) e depois identificar quantas vezes cada elemento se repete. Anote essas frequências. Se tiver um elemento que aparece 4 vezes, outro que aparece 2, e mais três que aparecem uma vez cada, seu denominador será 4! × 2!. A parte chata é quando o número de repetições é grande. Eu já tive um caso onde trabalhava com uma string de 15 caracteres, sendo 5 iguais, 4 iguais a outro, e o resto variado. O fatorial de 15 é 1.307.674.368.000. Dividir por 5! × 4! já reduzia para algo gerenciável, mas o cálculo manual era inviável. Usei Python com a biblioteca math e uma função recursiva que aplicava a divisão no final. Levou uns 3 segundos pra rodar.
Se você prefere não programar, a calculadora do Windows ou do Google já resolvem. Basta digitar 5!/2! e pronto. A limitação é que elas não explicam o raciocínio por trás, então se for estudar para prova, anote os passos manualmente pelo menos uma vez.
Pegadinhas comuns
A primeira pegadinha clássica é achar que permutação com repetição e combinação com repetição são a mesma coisa. Não são. Combinação importa apenas quais elementos você escolhe, não a ordem. Permutação sempre considera a ordem como fator decisivo. A segunda é esquecer que o denominador é o produto dos fatoriais de cada grupo de repetição, não o fatorial da soma das repetições. Se você tem 2 A's e 3 B's, o denominador é 2! × 3! = 12, e não 5! = 120. Esse erro inverte completamente o resultado.
Outro problema frequente: aplicar a fórmula quando os elementos não são todos utilizados. Se você tem as letras A, A, B, C e quer formar palavras de 3 letras usando todos os elementos disponíveis, aí a coisa fica mais complexa porque depende de quais posições ficam livres. Nesse caso, recomendo decompor em subcasos — quantas permutações começam com A, quantas com B, quantas com C — e somar os resultados. Para quem quer se aprofundar, o site da Olimpíada Brasileira de Matemática tem uma seção boa sobre o tema, com exercícios graduais. O Khan Academy em português também cobre o assunto de forma direta, sem enrolação.
