Resolvendo função quadrática na prática
A maioria dos alunos do primeiro ano do ensino médio trava quando aparece o primeiro exercício de função quadrática porque ninguém explica direito por que a fórmula de Bhaskara funciona antes de simplesmente jogá-la na cabeça. Eu já vi gente memorizar o passo a passo sem entender o porquê e, claro, na hora da prova esquecem tudo. O que funciona mesmo é construir o raciocínio junto com os exercícios, começando do gráfico e indo para a álgebra depois. Quando você vê uma função como f(x) = 2x² - 4x - 6, o primeiro erro é sair calculando o discriminante sem olhar para o gráfico. O gráfico te diz tudo de uma vez: se a concavidade é para cima, se corta o eixo x em dois pontos, um ou nenhum. Isso elimina metade das dúvidas antes de fazer qualquer conta. O coeficiente 'a' define a concavidade, 'b' e 'c' definem a posição. Fica claro quando você desenha primeiro.
Vou mostrar um caso específico que sempre me pegou no olho. Tinham dado um exercício onde a função era f(x) = -3x² + 12x - 12 e pediam os zeros. A primeira vista parece que tem duas raízes iguais, mas muitos alunos erram o sinal do discriminante e chegam em resultado errado. O truque aqui é perceber que 12x é positivo e -12 também é negativo, então = 144 - 144 = 0, raiz dupla em x = 2. Se você não prestar atenção aos sinais, calcula como 144 - (-144) e dá errado. Anotar os sinais antes de qualquer conta resolve isso.
Função quadrática exercícios 1 ano ensino médio
Aqui vão exercícios do mais simples ao mais complexo, com resolução passo a passo incluso. Exercício 1: Dada f(x) = x² - 5x + 6, determine as raízes, o vértice e esboce o gráfico.
Passo 1 — Raízes: = 25 - 24 = 1. x = (5 ± 1)/2, então x' = 3 e x'' = 2. Pontos de corte com o eixo x: (3,0) e (2,0). Passo 2 — Vértice: xv = -b/(2a) = 5/2 = 2,5. yv = -/(4a) = -1/4 = -0,25. Vértice em (2,5; -0,25).
Passo 3 — Concurrency: a = 1 > 0, concavidade para cima. Corta o eixo y em (0,6). Com esses pontos já dá para desenhar o gráfico com boa precisão. Exercício 2: Uma bola é lançada e sua altura em metros segue h(t) = -5t² + 20t. Em que instante a bola atinge a altura máxima e qual é essa altura?
Passo 1 — O instante do vértice: tv = -b/(2a) = -20/(2 × -5) = -20/-10 = 2 segundos. Passo 2 — Altura máxima: h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20 metros. A bola atinge 20m em 2 segundos.
Passo 3 — Quando a bola toca o chão: h(t) = 0 -5t² + 20t = 0 t(-5t + 20) = 0. t = 0 ou t = 4. A bola está no ar por 4 segundos. Exercício 3: Determine os valores de m para os quais a função f(x) = x² + mx + 4 não possui raízes reais.
Para não ter raízes reais, o discriminante deve ser negativo: < 0. = m² - 16. Então m² - 16 < 0,m² < 16,-4 < m
4. Para qualquer valor de m entre -4 e 4 (exclusivos), a parábola não toca o eixo x. Exercício 4: O lucro L de uma empresa, em milhares de reais, é dado por L(x) = -x² + 8x - 7, onde x é a quantidade produzida em centenas de unidades. Qual a quantidade que maximiza o lucro e qual é esse lucro?
Vértice: xv = -8/(2 × -1) = 4. Isso significa 4 centenas = 400 unidades. Lucro máximo: L(4) = -16 + 32 - 7 = 9. Ou seja, R$ 9.000,00. Produzir 400 unidades gera o maior lucro possível. Exercício 5: Resolva a inequação -x² + 3x + 10 0.
👉 Clique no botão abaixo para saber mais sobre o assunto!
Primeiro encontro as raízes: = 9 + 40 = 49. x = (-3 ± 7)/(-2). x' = (-3+7)/(-2) = -2. x'' = (-3-7)/(-2) = 5. Como a concavidade é para baixo (a = -1
0), a parábola fica acima do eixo x entre as raízes. Solução: -2 x 5. Exercício 6: Um terreno retangular tem perímetro 60m. Qual o tamanho dos lados para que a área seja máxima?
Seja x um lado, o outro será (30-x) porque 2x + 2y = 60 y = 30-x. Área A(x) = x(30-x) = -x² + 30x. Vértice em x = -30/(2 × -1) = 15. Lados iguais a 15m. Terreno quadrado de 15m por 15m, área máxima de 225m². O insight aqui é que o problema de máximo área com perímetro fixo sempre resulta em quadrado para retângulos, e isso aparece em diversas variantes. Exercício 7: Encontre a função quadrática cujo gráfico passa por (0,3), (1,0) e (3,0).
Como as raízes são 1 e 3, posso escrever diretamente na forma fatorada: f(x) = a(x-1)(x-3). Uso o ponto (0,3) para achar a: 3 = a(-1)(-3) = 3a a = 1. Função: f(x) = (x-1)(x-3) = x² - 4x + 3. Exercício 8: A função f(x) = ax² + bx + c tem vértice em (2,-1) e passa por (0,3). Encontre a, b e c.
Vértice: xv = -b/(2a) = 2 b = -4a. Forma canônica: f(x) = a(x-2)² - 1. Passo por (0,3): 3 = a(4) - 1 4a = 4 a = 1. Logo b = -4 e c = f(0) = 3. Função: f(x) = x² - 4x + 3. Exercício 9: Estude o sinal de f(x) = 2x² - 8x + 6.
= 64 - 48 = 16. Raízes: x = (8 ± 4)/4 x' = 3, x'' = 1. Como a = 2 > 0, a parábola abre para cima. f(x) > 0 para x < 1 ou x > 3. f(x) = 0 em x = 1 e x = 3. f(x) < 0 para 1 < x
3. Exercício 10: Uma pedra é lançada verticalmente para cima e sua altura é h(t) = -5t² + 40t + 100. De que altura ela foi lançada e em quanto tempo atinge o solo?
Altura inicial: h(0) = 100m. Tempo até o solo: h(t) = 0 -5t² + 40t + 100 = 0 t² - 8t - 20 = 0. = 64 + 80 = 144. t = (8 ± 12)/2. t' = 10, t'' = -2 (descarta). A pedra leva 10 segundos para atingir o solo. Uma coisa que poucos mencionam mas faz diferença: muitas escolas cobram apenas o cálculo mecânico com Bhaskara, mas a forma canônica f(x) = a(x-xv)² + yv é muito mais rápida para encontrar vértice e máximo/mínimo sem passar pelo discriminante. Em questões de otimização, usar a forma canônica diretamente economiza tempo e reduz erro de cálculo em cerca de 40%.
O principal limitação desses exercícios é que eles raramente conectam com contextos reais além de projéteis. Na prática, função quadrática aparece em economia (lucro), engenharia (tensão em cabos), física (trajetórias), mas os exercícios de livro ficam presos nesses três usos. Se quiser se preparar melhor, procure por problemas de maximização de área e otimização de custo, que exigem montar a função a partir do enunciado — isso é o que mais cai em vestibulares. Outro ponto fraco: alunos costumam confundir estudo de sinal com resolução de inequações. São habilidades diferentes. Estudo de signa determina onde a função é positiva, negativa ou nula. Inequações pedem intervalos que satisfazem uma condição. Treinar ambas separadamente evita confusão na hora da prova.
