Como tirar fator comum da evidência sem errar
O fator comum em evidência serve para reescrever uma soma ou diferença de termos como um produto. Você pega o maior divisor que aparece em todos os termos, coloca ele de fora dos parênteses e divide cada termo original por esse fator para preencher o que fica dentro. Funciona porque é a propriedade distributiva de trás para frente. Se você tem a*x + b*x, o x é o fator comum. Colocando em evidência: x*(a + b). A conta volta ao mesmo valor, só que escrita de outro jeito.
fator comum em evidencia exercicios
Veja os exemplos que aparecem com mais frequência em listas de exercícios. O primeiro é o mais direto. 6*x*² + 9*x. O mdc de 6 e 9 é 3. O mdc das variáveis*x*² e*x* é*x*. O fator comum é 3*x*. Dividindo: 6*x*² / 3*x* = 2*x* e 9*x* / 3*x* = 3. Resposta: 3*x*(2*x* + 3).
15*a*b* - 10*a*²*b*. Mdc dos números: 5. Mdc das letras: cada termo tem pelo menos*a*e*b*, então*a*b*. Fator comum: 5*a*b*. Dividindo: 15*a*b* / 5*a*b* = 3 e -10*a*²*b* / 5*a*b* = -2*a*. Resposta: 5*a*b*(3 - 2*a*). Note o sinal negativo no segundo termo. Erro comum é esquecer que o sinal do termo original segue para dentro do parêntese. 4*x*y* - 6*x*² + 8*x*. Mdc dos coeficientes: 2. Mdc das variáveis:*x*. Fator: 2*x*. Dividindo: 2*y*, -3*x*, +4. Resposta: 2*x*(2*y* - 3*x* + 4).
Quando os coeficientes são frações, o processo continua igual, mas a definição de fator comum muda um pouco. A regra prática é pegar o mdc dos numadores e o mmc dos denominadores. Isso é contra-intuitivo para quem só viu inteiros. Por exemplo: (2/3)*x*² + (4/9)*x*. Numadores: mdc de 2 e 4 é 2. Denominadores: mmc de 3 e 9 é 9. Fator fracionário: 2/9. Dividindo: (2/3*x*²) / (2/9) = (2/3)*(9/2)*x*² = 3*x*². E (4/9*x*) / (2/9) = (4/9)*(9/2)*x* = 2*x*. Resposta: (2/9)*x*(3*x* + 2). Eu perdi quase dez minutos numa prova de engenharia com esse tipo de exercício porque sempre esquecia de inverter a divisão quando o divisor é fração. A partir daí eu sempre verifico se (fator)*(resto) volta ao original.
Com binômios como fator comum, a coisa muda de figura. Isso aparece muito e confunde bastante. Exemplo: (x + 2)*a* + (x + 2)*b*. O fator comum não é uma letra, é o binômio completo (x + 2). Dividindo cada termo por (x + 2), sobra*a* no primeiro e*b* no segundo. Resposta: (x + 2)*(a + b). O erro típico é tentar abrir o parêntese antes de fatorar e acabar com uma expressão mais longa que a original. Às vezes isso é inevitável, mas na maioria dos exercícios o caminho mais curto é identificar o fator comum exatamente como está.
Outro caso frequente: (x - 3)*x* + (x - 3)*5*. Fator: (x - 3). Resta: *x* + 5. Resposta: (x - 3)(*x* + 5). Simples, mas quem está aprendendo costuma hesitar porque o fator comum não parece um "termo separado". Ele aparece integrado ao termo. Aqui vai algo que pouca gente ensina direitinho. Fator comum negativo.
-4*x*² - 6*x*. A tentação é tirar 2*x* como fator, mas aí sobram sinais negativos estranhos. A opção mais limpa é tirar -2*x*. Dividindo: -4*x*² / -2*x* = 2*x*, e -6*x* / -2*x* = 3. Resposta: -2*x*(2*x* + 3). Teste rápido: -2*x* * 2*x* = -4*x*², -2*x* * 3 = -6*x*. bate. Quando o coeficiente principal é negativo, colocar o negativo no fator costuma deixar o parêntese interno mais legível. Se você deixasse o fator positivo, o primeiro termo dentro ficaria negativo e o segundo positivo, o que funciona, mas é mais propenso a erro na hora de verificar. Outro detalhe prático: potências maiores que 2.
5*x*³*y*² + 10*x*²*y*³ - 15*x**y*. Mdc numérico: 5. Para as variáveis, o critério é pegar a menor potência de cada letra que apareça em todos os termos.*x* aparece com expoentes 3, 2 e 4. O menor é 2. *y* aparece com 2, 3 e 1. O menor é 1. Fator comum: 5*x*²*y*. Dividindo: *x*y*², +2*y*², -3*x*². Resposta: 5*x*²*y*(*x*y*² + 2*y*² - 3*x*²). Nota: o terceiro termo perde toda a parte variável visível porque*x* / *x*² = *x*² e *y* / *y* = 1, então sobra apenas -3*x*². Muita gente escreve "-3" ali errado porque acha que a variável "some" do resultado quando na verdade ela cai dentro do parêntese. Existem situações em que o fator comum em evidência não resolve tudo sozinho. É útil saber isso na hora da prova.
Por exemplo: *x*² + 5*x* + 6. Tirar fator comum seria*pegar*x* e escrever*x*(x + 5 + 6/x), o que não ajuda. Esse polinômio se resolve por fatoração por agrupamento ou pela fórmula de Bhaskara, não por simples fator comum. O método só é aplicável quando há um fator compartilhado literalmente em todos os termos. Se um termo não participa, a técnica não se aplica diretamente. Não forçe. Outro limite importante: quando os coeficientes não têm divisor inteiro maior que 1. *x*² + 7*x* + 11. O mdc de 1, 7 e 11 é 1. O fator comum numérico é 1, então tecnicamente você pode escrever 1*(...), mas isso é trivial e inútil. Nesse caso, avalie se o trinômio é fatorável sobre os inteiros. 7 não é Primo e 11 também, mas 7 não permite fatoração simples com números inteiros. Verifique o discriminante. Se não quadrado perfeito, a fatoração sobre os inteiros não existe.
Vou colocar aqui uma lista de exercícios para praticar, com respostas no final para conferência. 1) 8*x* + 12
2) 18*a*²*b* - 12*a*b*² 3) 7*x*y* - 21*x* + 14*x*y*
👉 Clique no botão abaixo para saber mais sobre o assunto!
4) -9*m*² + 6*m*n* - 3*m* 5) (a - 1)*a* + (a - 1)*3*
6) 20*x*³*y* - 15*x*²*y*² + 5*x*²*y* 7) (2*x* + 1)*(x - 4) + (2*x* + 1)*7*
8) (3/4)*x*² + (9/8)*x* 9) 0,6*x* + 0,09
10) *x*(*y* - 2) - 3(*y* - 2) Respostas:
1) 4*(2*x* + 3) 2) 6*a*b*(3*a* - 2*b*)
3) 7*x*(y - 3 + 2*y*) = 7*x*(3*y* - 3) = 21*x*(y - 1). O fator comum inicial é 7*x*. Depois dentro do parêntese dá para tirar mais 3, então a fatoração completa é 21*x*(y - 1). Note que isso já entra em fatoração por agrupamento, não é só fator comum simples. 4) -3*m*(3*m* - 2*n* + 1)
5) (a - 1)*(a + 3) 6) 5*x*²*y*(4*x* - 3*y* + 1)
7) (2*x* + 1)*(x - 4 + 7) = (2*x* + 1)*(x + 3) 8) (3/8)*x*(2*x* + 3)
9) 0,03*(20*x* + 3). Aqui o fator comum decimal pode ser desconfortável. Eu prefiro converter para frações: 0,6 = 3/5 e 0,09 = 9/100. Mdc como fração: mdc de 3/5 e 9/100. Mdc dos numadores: 3. mmc dos denominadores: 100. Fator: 3/100. Dividindo, sobra 20*x* + 3. O resultado é o mesmo. 10) (y - 2)*(x - 3)
Uma armadilha que eu vejo todo dia em listas de recuperação: exercício com quatro termos onde o aluno tira fator comum só dos dois primeiros e depois desiste. Exemplo: 2*x* + 4 + 3*x*y* + 6*y*. Tirar 2 dos dois primeiros dá 2*(x + 2) + 3*x*y* + 6*y*. Aí travou. O caminho certo é agrupar todos e perceber que o fator comum real exige olhar o todo. Nesse caso, agrupe os dois últimos também: 2*(x + 2) + 3*y*(x + 2). Agora sim, o fator comum é (x + 2), e a resposta final é (x + 2)*(2 + 3*y*). Isso é fatoração por agrupamento, mas nasceu do mesmo princípio. Se o exercício pede especificamente fator comum, às vezes o enunciado considera essa etapa intermediária válida, às vezes não. Verifique o que seu professor espera. Para encontrar mdc rapidamente sem factorização-prima completa, use o algoritmo de Euclides na cabeça quando os números forem pequenos. Mdc de 48 e 72: 72 = 1*48 + 24, 48 = 2*24 + 0, então mdc é 24. Leva cinco segundos e evita erro de cálculo manual.
Se quiser baixar uma lista maior de fator comum em evidencia exercicios com gabarito, recomendo procurar por PDFs de coleções de exercícios de álgebra do ensino médio ou de cursos pré-vestibular. Many teachers publish them freely. The key is to pick sets that include mixed difficulty, including cases with negatives, fractions, and binomial factors, because those are the ones that actually test whether you understand the mechanic or just memorized a pattern.
