Como resolver exercícios de domínio, contradomínio e imagem
Muita gente travada nesses exercícios porque não consegue diferenciar o que é domínio do que é contradomínio. A confusão é natural. O domínio são os valores que entram na função, o contradomínio é o conjunto de chegada que o enunciado define, e a imagem são os valores que realmente são atingidos. Vou mostrar com exemplos práticos.
domínio contradomínio e imagem exercícios resolvidos
Antes de ver os exercícios, preciso explicar como funciona na prática. A maioria dos livros define f: A B, onde A é o domínio, B é o contradomínio, e a imagem é o subconjunto de B formado pelos resultados efetivos. A pegadinha é que imagem nunca ultrapassa o contradomínio, mas nem sempre o preenche todo. Já me deparei com um aluno que confundia contradomínio com imagem em uma função f: R R definida por f(x) = x². O contradomínio era R, mas a imagem era [0, +). Ele marcou a imagem como sendo R inteiro e errou a questão. A resposta correta exige verificar quais valores realmente saem da função, não apenas o que está escrito no contradomínio.
Vamos a exercícios resolvidos passo a passo.
Exercício 1
Seja f: R R definida por f(x) = 2x - 3. Encontre domínio, contradomínio e imagem. Domínio: Como a expressão está definida para todo número real, o domínio é R.
Contradomínio: O enunciado diz R, então é R. Imagem: Como se trata de uma função afim com coeficiente angular diferente de zero, ela percorre todos os reais. Imagem = R.
Exercício 2
Seja f: N N definida por f(x) = x + 2, onde N = {0, 1, 2, 3, ...}. Encontre domínio, contradomínio e imagem. Domínio: N.
Contradomínio: N. Imagem: Para x = 0, temos f(0) = 2. Para x = 1, f(1) = 3. A imagem começa em 2 e vai até o infinito, excluindo 0 e 1. Imagem = {2, 3, 4, 5, ...} = N \\ {0, 1}.
Exercício 3
Seja f: R R definida por f(x) = x². Encontre domínio, contradomínio e imagem. Domínio: R.
Contradomínio: R. Imagem: Quadrado de qualquer real é maior ou igual a zero. Imagem = [0, +).
Aqui está um ponto que muitos ignoram: o contradomínio pode ser R, mas a imagem só é [0, +). Isso significa que a função não é sobrejetora, pois existem elementos no contradomínio (os negativos) que nunca são atingidos.
Exercício 4
Seja f: R \\ {2} R definida por f(x) = 1/(x - 2). Encontre domínio, contradomínio e imagem. Domínio: R \\ {2} (não podemos dividir por zero).
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Contradomínio: R. Imagem: A expressão 1/(x-2) nunca pode ser zero, pois o numerador é 1. Para qualquer y diferente de zero, consigo encontrar x = 2 + 1/y. Imagem = R \\ {0}.
Dica prática
Para encontrar a imagem, isole x em função de y e determine quais valores de y tornam a expressão válida. Esse método funciona para funções racionais, radiciais e outras formas algébricas. Evite chutar baseando-se apenas no contradomínio.
Exercício 5
Seja f: [-5, 5] R definida por f(x) = (25 - x²). Encontre domínio, contradomínio e imagem. Domínio: Já está restrito no enunciado para [-5, 5].
Contradomínio: R. Imagem: A expressão (25 - x²) gera valores entre 0 e 5, pois o máximo de 25 - x² é 25 (quando x = 0) e o mínimo é 0 (quando x = ±5). Imagem = [0, 5].
Este é um caso interessante. Mesmo que o contradomínio seja R, a restrição da raiz quadrada e do domínio fechado limita os resultados. Se fizesse a mesma função com domínio em R, não teria solução para |x| > 5.
Exercício 6
Dada a função f: {-2, -1, 0, 1, 2} Z definida por f(x) = x² + 1, determine domínio, contradomínio e imagem. Domínio: {-2, -1, 0, 1, 2}.
Contradomínio: Z. Imagem: f(-2) = 5, f(-1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5. Imagem = {1, 2, 5}.
Note que elementos do contradomínio como 0, 3, 4, 6, 7... nunca são atingidos. Isso mostra claramente a diferença entre contradomínio e imagem em conjuntos finitos.
Erros comuns
O erro mais frequente é achar que domínio e imagem são sempre iguais. Isso só ocorre em funções como f(x) = x ou f(x) = x³, onde cada entrada produz uma saída única e abrangente. Em funções quadráticas, radiciais ou racionais, imagem geralmente é um subconjunto próprio do contradomínio. Outro erro é confundir restritor do domínio com restrição do contradomínio. Por exemplo, em f(x) = (x - 3), o domínio exige x 3, mas isso não altera o contradomínio, que continua sendo definido pelo enunciado.
Exercício 7
Seja f: R [-4, +) definida por f(x) = x² + 4x + 8. Encontre a imagem. Completando o quadrado: f(x) = (x + 2)² + 4. O valor mínimo é 4 quando x = -2. Como (x + 2)² 0, temos f(x) 4 para todo x. Imagem = [4, +), que neste caso coincide exatamente com o contradomínio dado.
Aqui a função é sobrejetora em relação ao contradomínio estipulado. Isso acontece porque o contradomínio foi construído para receber todos os valores possíveis da função. Se o contradomínio fosse R, a função não seria sobrejetora.
Resumo rápido
Domínio: valores de entrada permitidos. Contradomínio: conjunto de chegada definido pelo enunciado. Imagem: valores realmente produzidos pela função. Para calcular a imagem, substitua os valores do domínio na expressão ou isole x em função de y e identifique restrições.
