O correto é acontecesse
A forma acontecesse está correta. É a conjugação do verbo acontecer na terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo. Muita gente confunde com outras grafias porque o som final pode induzir a erro quando falamos rápido. Ocorre bastante isso em ditados ou em textos informais onde a ortografia não é rigorosamente verificada.
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Como se escreve acontecesse de fato
O verbo acontecer pertence à segunda conjugação, terminação em -er. Na flexão do pretérito imperfeito do subjuntivo, a terminação adequada para a terceira pessoa do singular é -esse. Isso vale para todos os verbos regulares desse grupo: fosse, tivesse, dissesse, soubesse, acontecesse. A raiz é acontec- e o sufixo flexional é -esse. Já vi diversos alunos do ensino médio e até pessoas formadas escreverem "acontecisse" achando que era mais correto porque soa similar a outros verbos. O problema é que acontecer tem pronúncia levemente diferente de ver bas como existir, apesar da similaridade fonética. Quando eu trabalhava revisando textos técnicos, notei que esse erro aparecia especialmente em documentação antiga escaneada por OCR, onde o sistema lia mal os caracteres. A solução que funcionava melhor era comparar diretamente com a primeira pessoa do pretérito perfeito do indicativo: eu aconteceu. Daí derivava as formas do subjuntivo mantendo a consistência da raiz.
Outro detalhe importante é que não existe variação regional no Brasil que justifique grafias alternativas. Tanto em São Paulo quanto no Rio Grande do Sul, a norma culta exige acontecesse com s. Formas como "acontecese" ou "acontecexe" são simplesmente erradas e não têm fundamento na etimologia ou nas regras morfológicas do português. Se você precisa memorizar rapidamente, pense na analogia com o verbo ter: eu tive, e no subjuntivo fosse, tivesse. Acontecer segue exatamente o mesmo padrão de flexão. Não há exceções documentadas na gramática normativa brasileira. Dicionários como o Houaiss e o Michaelis registram apenas acontecesse como forma válida, sem variantes ortográficas aceitáveis.